Çarpma Her Zaman Büyütür mü?

Büyür mü, Küçülür mü? oyununun arkasındaki fikir

Küçük bir deney yapalım. Hesap makinesine dokunmadan cevap verin: 12 × 3/4 işleminin sonucu 12'den büyük müdür, küçük müdür? Peki 12 ÷ 1/2?

Birçok yetişkin bu soruda bir an tereddüt eder. Çocuklar için durum daha da zordur. İlkokulda öğrendiğimiz ilk çarpma örnekleri hep büyüten türdendir: 3 × 4 = 12. Bölmede de hep küçülürüz: 12 ÷ 3 = 4. Yıllar içinde zihnimize sessiz bir kural yerleşir: “Çarpma büyütür, bölme küçültür.” Bu kural doğal sayılarda (1 hariç) işe yarar, ama kesirlere ve ondalık sayılara geçince yanıltır. 12 × 3/4 sonucu 9'dur; 12'den küçüktür. 12 ÷ 1/2 ise 24'tür; bölme bu kez büyütmüştür.

Gizli modellerin gücü

İtalyan ve İsrailli araştırmacılar 1980'lerde ilginç bir şey fark ettiler. Öğrenciler kesirlerle çarpma kuralını gayet iyi biliyordu, ama bir problem karşısında hangi işlemi seçeceklerine karar verirken bu kurala değil, sezgilerine güveniyorlardı. Araştırmacılara göre okulda öğrenilen ilk modeller (çarpma = tekrarlı toplama, bölme = eşit paylaştırma) zihne o kadar derin yerleşiyor ki, öğrenci resmi kuralları öğrendikten sonra bile bu modeller davranışı sessizce yönetmeye devam ediyor (Fischbein vd., 1985). Benzer bulgular ondalık sayılarla çalışan 4. ve 5. sınıf öğrencilerinde de görüldü (Graeber & Tirosh, 1990).

Daha yeni bir çalışmada ortaokul öğrencilerine, üniversite öğrencilerine ve öğretmen adaylarına basit bir soru soruldu: “Hesaplamadan söyle: bu işlemin sonucu büyük kesirden büyük mü, küçük mü?” Toplama ve çıkarmada cevaplar oldukça iyiydi. Ancak 1'den küçük kesirlerle çarpma ve bölmede ortaokul öğrencilerinin başarısı çoğu zaman şans düzeyinde ya da altında kaldı. Öğretmen adayları bile bu sorularda zorlandı (Siegler & Lortie-Forgues, 2015). Yani öğrenciler işlemi yapabiliyor, ama işlemin ne yaptığını bilmiyor.

Neden bu kadar zor?

Araştırmacılar, kesir aritmetiğinin zorluğunun bir kısmının konunun doğasından geldiğini söylüyor (Lortie-Forgues vd., 2015). Toplamada ortak payda gerekir, çarpmada gerekmez. Bir kural bir işlemde doğru, diğerinde yanlıştır. Kurallar birbirine benzediği için karışır. Bilgisayar modelleriyle yapılan çalışmalar da öğrencilerin hatalarının büyük kısmının, bir işlemin kuralını başka bir işleme taşımaktan kaynaklandığını gösteriyor (Braithwaite vd., 2017). Kavramsal anlayış zayıf olduğunda öğrencinin elinde yalnız ezberlenmiş adımlar kalır. Ezber karıştığında da öğrenci sonucun mantıklı olup olmadığını kontrol edecek bir pusuladan yoksun kalır.

Bilim ne öneriyor?

Öneri basit ama güçlü: Hesaplamadan önce tahmin ettirin. IES rehberi, öğrencilerin kesirli işlemlerde sonucu önceden kestirmesini ve işlemlerin neden öyle çalıştığını anlamasını özellikle vurgular (Siegler vd., 2010). Çarpanın 1'den büyük mü küçük mü olduğuna bakmak, sonucun yönünü belirleyen en temel ipucudur. 3/4 ile çarpmak “4 parçanın 3'ünü almak” demektir; elbette küçültür. 1/2'ye bölmek ise “içinde kaç tane yarım var?” diye sormaktır; 12'nin içinde 24 tane yarım vardır.

Büyür mü, Küçülür mü? bunu nasıl kullanıyor?

Oyunda öğrenci bir sayı fabrikasında çalışıyor. Banttan bir sayı geliyor, örneğin 12. Makinenin ekranında bir işlem yazıyor: “× 3/4”. Öğrencinin görevi hesap yapmak değil, karar vermek: sayı makineden çıkınca büyüyecek mi, küçülecek mi, aynı mı kalacak? Tek bir düğmeye basıyor.

Oyunun kalbi şeffaf makine. Fikir, sınıfta eşit uzunlukta kağıt şeritleri ikiye, üçe, dörde bölüp parçalarla işlem yapan etkinliklerden ve Steffe'nin kesir şemaları üzerine yapılan araştırmalardan geliyor: öğrenci bir bütünü eşit parçalara böler, sonra bir parçayı tekrarlayarak yeni bir uzunluk kurar (Steffe & Olive, 2010; McCloskey & Norton, 2009). Oyunda sayı bir kutu. Kutu cam makinenin içine giriyor ve gözümüzün önünde eşit dilimlere kesiliyor. × 3/4'te kutu 4 dilime ayrılıyor ve bir dilim kaldırılıp götürülüyor; kutu kısalıyor. × 3/2'de kutu 2 dilime ayrılıyor ve bir dilimin kopyası eklenip yeşil yanıyor; kutu uzuyor. Kesik çizgi kutunun eski boyunu hep gösteriyor. Kural ezberlenmiyor, görülüyor: böldüğünden fazla parça olursa büyür, az olursa küçülür. Bölme de aynı makinede çalışıyor: “÷ 3/2” ile “× 2/3” aynı işi yapıyor.

Oyunun iki modu var. Şeffaf makinede kutu, soru gelir gelmez öğrencinin gözü önünde dilimleniyor; öğrenci kaç dilim olduğunu görerek karar veriyor. Kapalı makinede makinenin kapağı kapalı; öğrenci yalnızca işlemi ve giren sayıyı görüyor, sayılar da 1'e çok yakın seçiliyor (7/8, 9/8, 0,9, 1,1). Kapak cevaptan sonra açılıyor ve aynı gösteri açıklama olarak oynuyor. Böylece önce gösterip sonra desteği geri çekiyoruz. Ekran bilinçli olarak sade tutuldu: ortada tek bir makine ve üç düğme var. Dilim numaraları ve “4'e böl, 1 parça çıkar” gibi tarif satırı isteğe bağlı; menüdeki “Ayrıntılar” ile açılıyor.

Seviyeler, yanılgıyı adım adım çözecek şekilde sıralanıyor: önce tam sayıyı kesirle çarpma, sonra kesri kesirle çarpma, ardından bölme ve son olarak ondalıkların da karıştığı bir vardiya. Yanlış cevapta oyun yalnızca “yanlış” demiyor; yanılgıyı adıyla söylüyor: “Çarpma her zaman büyütmez!”

Öğretmenler ve veliler için öneriler

• Her kesirli işlemden önce bir saniye durun ve sorun: “Sonuç büyür mü, küçülür mü?”
• “× 1/2” ifadesini “yarısını al” diye okuyun; “÷ 1/2” ifadesini de “içinde kaç tane yarım var?” diye.
• Gündelik örnekler kullanın: “Tarifin 3/4'ünü yaparsak un azalır mı, artar mı?”
• Cevap hesaplandıktan sonra tahminle karşılaştırın. Tutmuyorsa bu, tartışmak için harika bir fırsattır.
• Sınıfta eşit uzunlukta kağıt şeritler kestirin: “Şeridi 4'e böl, 3 parçasını yan yana koy. İlk şeritten uzun mu, kısa mı?” Sonra 3'e bölüp 4 parça koydurun.

Kaynakça

• Braithwaite, D. W., Pyke, A. A., & Siegler, R. S. (2017). A computational model of fraction arithmetic. Psychological Review, 124(5), 603–625. https://doi.org/10.1037/rev0000072
• Fischbein, E., Deri, M., Nello, M. S., & Marino, M. S. (1985). The role of implicit models in solving verbal problems in multiplication and division. Journal for Research in Mathematics Education, 16(1), 3–17. https://doi.org/10.2307/748969
• Graeber, A. O., & Tirosh, D. (1990). Insights fourth and fifth graders bring to multiplication and division with decimals. Educational Studies in Mathematics, 21(6), 565–588. https://doi.org/10.1007/BF00315945
• McCloskey, A. V., & Norton, A. H. (2009). Using Steffe's advanced fraction schemes. Mathematics Teaching in the Middle School, 15(1), 44–50. https://doi.org/10.5951/MTMS.15.1.0044
• Lortie-Forgues, H., Tian, J., & Siegler, R. S. (2015). Why is learning fraction and decimal arithmetic so difficult? Developmental Review, 38, 201–221. https://doi.org/10.1016/j.dr.2015.07.008
• Ni, Y., & Zhou, Y.-D. (2005). Teaching and learning fraction and rational numbers: The origins and implications of whole number bias. Educational Psychologist, 40(1), 27–52. https://doi.org/10.1207/s15326985ep4001_3
• Siegler, R. S., Carpenter, T., Fennell, F., Geary, D., Lewis, J., Okamoto, Y., Thompson, L., & Wray, J. (2010). Developing effective fractions instruction for kindergarten through 8th grade: A practice guide (NCEE 2010-4039). Institute of Education Sciences, U.S. Department of Education.
• Siegler, R. S., & Lortie-Forgues, H. (2015). Conceptual knowledge of fraction arithmetic. Journal of Educational Psychology, 107(3), 909–918. https://doi.org/10.1037/edu0000025
• Steffe, L. P., & Olive, J. (2010). Children's fractional knowledge. Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4419-0591-8
• Van Dooren, W., Lehtinen, E., & Verschaffel, L. (2015). Unraveling the gap between natural and rational numbers. Learning and Instruction, 37, 1–4. https://doi.org/10.1016/j.learninstruc.2015.01.001
• Wilkins, J. L. M., & Norton, A. (2011). The splitting loope. Journal for Research in Mathematics Education, 42(4), 386–416. https://doi.org/10.5951/jresematheduc.42.4.0386