Multiplier, est-ce toujours agrandir ?

L’idée derrière Plus grand ou plus petit ?

Faisons une petite expérience. Répondez sans toucher à la calculatrice : le résultat de 12 × 3/4 est-il plus grand ou plus petit que 12 ? Et celui de 12 ÷ 1/2 ?

Beaucoup d’adultes hésitent un instant devant cette question. Pour les enfants, c’est encore plus difficile. Les premiers exemples de multiplication que l’on apprend à l’école primaire font toujours grandir : 3 × 4 = 12. Et la division fait toujours diminuer : 12 ÷ 3 = 4. Au fil des années, une règle silencieuse s’installe dans notre esprit : « Multiplier agrandit, diviser rapetisse. » Cette règle marche avec les nombres entiers (sauf 1), mais avec les fractions et les décimaux, elle trompe. 12 × 3/4 donne 9, plus petit que 12. Et 12 ÷ 1/2 donne 24 : cette fois, la division a fait grandir le nombre.

La force des modèles cachés

Dans les années 1980, des chercheurs italiens et israéliens ont remarqué quelque chose de curieux. Les élèves connaissaient plutôt bien la règle de multiplication des fractions, mais, pour choisir l’opération à faire dans un problème, ils se fiaient à leur intuition plutôt qu’à la règle. Selon les chercheurs, les premiers modèles appris à l’école (multiplier = additionner plusieurs fois, diviser = partager en parts égales) s’ancrent si profondément qu’ils continuent à guider en silence le comportement, même après l’apprentissage des règles formelles (Fischbein et al., 1985). Des résultats semblables ont été observés chez des élèves de CM1 et de CM2 travaillant avec des décimaux (Graeber & Tirosh, 1990).

Une étude plus récente a posé une question simple à des collégiens, à des étudiants et à de futurs enseignants : « Sans calculer, le résultat de cette opération est-il plus grand ou plus petit que la plus grande des deux fractions ? » Pour l’addition et la soustraction, les réponses étaient plutôt bonnes. Mais pour la multiplication et la division par des fractions plus petites que 1, les collégiens ne faisaient souvent pas mieux que le hasard, voire moins bien. Même les futurs enseignants ont eu du mal avec ces questions (Siegler & Lortie-Forgues, 2015). Autrement dit, les élèves savent faire l’opération, mais ne savent pas ce que fait l’opération.

Pourquoi est-ce si difficile ?

Les chercheurs expliquent qu’une partie de la difficulté du calcul sur les fractions vient de la nature même du sujet (Lortie-Forgues et al., 2015). L’addition demande un dénominateur commun, la multiplication non. Une règle est juste pour une opération et fausse pour une autre. Comme les règles se ressemblent, elles se mélangent. Des études fondées sur des modèles informatiques montrent aussi que la plupart des erreurs des élèves viennent du fait de transporter la règle d’une opération vers une autre (Braithwaite et al., 2017). Quand la compréhension des notions est fragile, il ne reste à l’élève que des étapes apprises par cœur. Et quand ces étapes se mélangent, il n’a plus de boussole pour vérifier si le résultat a du sens.

Que recommande la recherche ?

Le conseil est simple mais puissant : faites prévoir avant de calculer. Le guide de l’IES insiste particulièrement sur le fait que les élèves doivent estimer à l’avance le résultat des opérations sur les fractions et comprendre pourquoi les opérations fonctionnent ainsi (Siegler et al., 2010). Regarder si le multiplicateur est plus grand ou plus petit que 1 est l’indice le plus élémentaire pour connaître le sens du résultat. Multiplier par 3/4, c’est « prendre 3 parts sur 4 » ; bien sûr que cela rapetisse. Diviser par 1/2, c’est se demander « combien de demis y a-t-il dedans ? » ; dans 12, il y a 24 demis.

Comment « Plus grand ou plus petit ? » s’en sert-il ?

Dans le jeu, l’élève travaille dans une usine à nombres. Un nombre arrive sur le tapis, par exemple 12. L’écran de la machine affiche une opération : « × 3/4 ». La tâche de l’élève n’est pas de calculer, mais de décider : à la sortie de la machine, le nombre sera-t-il plus grand, plus petit ou pareil ? Il appuie sur un seul bouton.

Le cœur du jeu, c’est la machine transparente. L’idée vient d’activités de classe où l’on partage des bandes de papier de même longueur en deux, trois ou quatre et où l’on calcule avec les morceaux, ainsi que des recherches sur les schèmes de fractions de Steffe : l’élève partage un tout en parts égales, puis construit une nouvelle longueur en itérant une part (Steffe & Olive, 2010 ; McCloskey & Norton, 2009). Dans le jeu, le nombre est une boîte. La boîte entre dans la machine en verre et se fait découper en tranches égales sous nos yeux. Avec × 3/4, la boîte est coupée en 4 tranches et une tranche est retirée ; la boîte raccourcit. Avec × 3/2, la boîte est coupée en 2 tranches et une copie d’une tranche est ajoutée, en vert ; la boîte s’allonge. Un trait pointillé montre toujours l’ancienne taille de la boîte. La règle ne s’apprend pas par cœur, elle se voit : s’il y a plus de parts qu’on n’en a coupé, ça augmente ; s’il y en a moins, ça diminue. La division fonctionne aussi dans la même machine : « ÷ 3/2 » fait le même travail que « × 2/3 ».

Le jeu a deux modes. Dans la Machine transparente, la boîte est découpée sous les yeux de l’élève dès que la question arrive, et l’élève décide en voyant combien il y a de tranches. Dans la Machine fermée, le couvercle de la machine est fermé : l’élève ne voit que l’opération et le nombre qui entre, et les nombres sont choisis très près de 1 (7/8, 9/8, 0,9, 1,1). Le couvercle s’ouvre après la réponse et la même démonstration est rejouée comme explication. On montre donc d’abord, puis on retire l’aide. L’écran est volontairement épuré : une seule machine au centre et trois boutons. Les numéros des tranches et une ligne de recette comme « coupe en 4, retire 1 part » sont facultatifs ; on les active avec « Détails » dans le menu.

Les niveaux sont ordonnés pour défaire l’idée fausse pas à pas : d’abord multiplier un nombre entier par une fraction, puis une fraction par une fraction, ensuite la division, et enfin un poste où les décimaux s’en mêlent aussi. Après une mauvaise réponse, le jeu ne se contente pas de dire « faux » ; il nomme l’idée fausse : « Multiplier n’agrandit pas toujours ! »

Conseils pour les enseignants et les parents

• Avant chaque opération sur les fractions, arrêtez-vous une seconde et demandez : « Le résultat va-t-il augmenter ou diminuer ? »
• Lisez « × 1/2 » comme « prends la moitié », et « ÷ 1/2 » comme « combien de demis y a-t-il dedans ? ».
• Prenez des exemples du quotidien : « Si on fait les 3/4 de la recette, faut-il plus ou moins de farine ? »
• Une fois le résultat calculé, comparez-le avec la prévision. S’ils ne correspondent pas, c’est une excellente occasion d’en discuter.
• En classe, faites découper des bandes de papier de même longueur : « Partage la bande en 4 et mets 3 parts côte à côte. Est-ce plus long ou plus court que la première bande ? » Puis faites-la partager en 3 et poser 4 parts.

Références

• Braithwaite, D. W., Pyke, A. A., & Siegler, R. S. (2017). A computational model of fraction arithmetic. Psychological Review, 124(5), 603–625. https://doi.org/10.1037/rev0000072
• Fischbein, E., Deri, M., Nello, M. S., & Marino, M. S. (1985). The role of implicit models in solving verbal problems in multiplication and division. Journal for Research in Mathematics Education, 16(1), 3–17. https://doi.org/10.2307/748969
• Graeber, A. O., & Tirosh, D. (1990). Insights fourth and fifth graders bring to multiplication and division with decimals. Educational Studies in Mathematics, 21(6), 565–588. https://doi.org/10.1007/BF00315945
• McCloskey, A. V., & Norton, A. H. (2009). Using Steffe's advanced fraction schemes. Mathematics Teaching in the Middle School, 15(1), 44–50. https://doi.org/10.5951/MTMS.15.1.0044
• Lortie-Forgues, H., Tian, J., & Siegler, R. S. (2015). Why is learning fraction and decimal arithmetic so difficult? Developmental Review, 38, 201–221. https://doi.org/10.1016/j.dr.2015.07.008
• Ni, Y., & Zhou, Y.-D. (2005). Teaching and learning fraction and rational numbers: The origins and implications of whole number bias. Educational Psychologist, 40(1), 27–52. https://doi.org/10.1207/s15326985ep4001_3
• Siegler, R. S., Carpenter, T., Fennell, F., Geary, D., Lewis, J., Okamoto, Y., Thompson, L., & Wray, J. (2010). Developing effective fractions instruction for kindergarten through 8th grade: A practice guide (NCEE 2010-4039). Institute of Education Sciences, U.S. Department of Education.
• Siegler, R. S., & Lortie-Forgues, H. (2015). Conceptual knowledge of fraction arithmetic. Journal of Educational Psychology, 107(3), 909–918. https://doi.org/10.1037/edu0000025
• Steffe, L. P., & Olive, J. (2010). Children's fractional knowledge. Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4419-0591-8
• Van Dooren, W., Lehtinen, E., & Verschaffel, L. (2015). Unraveling the gap between natural and rational numbers. Learning and Instruction, 37, 1–4. https://doi.org/10.1016/j.learninstruc.2015.01.001
• Wilkins, J. L. M., & Norton, A. (2011). The splitting loope. Journal for Research in Mathematics Education, 42(4), 386–416. https://doi.org/10.5951/jresematheduc.42.4.0386