¿Multiplicar siempre aumenta?

La idea detrás de ¿Aumenta o disminuye?

Hagamos un pequeño experimento. Responda sin tocar la calculadora: ¿el resultado de 12 × 3/4 es mayor o menor que 12? ¿Y el de 12 ÷ 1/2?

Muchos adultos dudan un instante ante esta pregunta. Para los niños es todavía más difícil. Los primeros ejemplos de multiplicación que aprendemos en primaria siempre hacen crecer: 3 × 4 = 12. Y al dividir siempre disminuimos: 12 ÷ 3 = 4. Con los años, se instala en nuestra mente una regla silenciosa: «Multiplicar aumenta, dividir disminuye». Esta regla funciona con los números naturales (salvo el 1), pero con fracciones y decimales engaña. 12 × 3/4 da 9, que es menor que 12. Y 12 ÷ 1/2 da 24: esta vez la división ha hecho crecer el número.

La fuerza de los modelos ocultos

En los años ochenta, investigadores italianos e israelíes observaron algo curioso. Los alumnos conocían bastante bien la regla para multiplicar fracciones, pero, al decidir qué operación elegir ante un problema, no se fiaban de la regla, sino de su intuición. Según los investigadores, los primeros modelos aprendidos en la escuela (multiplicar = sumar repetidamente, dividir = repartir en partes iguales) arraigan tan hondo que siguen guiando la conducta en silencio incluso después de aprender las reglas formales (Fischbein et al., 1985). Se observaron resultados parecidos en alumnos de cuarto y quinto curso que trabajaban con decimales (Graeber & Tirosh, 1990).

En un estudio más reciente se planteó una pregunta sencilla a alumnos de secundaria, estudiantes universitarios y futuros docentes: «Sin calcular, ¿el resultado de esta operación es mayor o menor que la fracción más grande?». En la suma y la resta, las respuestas fueron bastante buenas. Pero en la multiplicación y la división con fracciones menores que 1, los alumnos de secundaria a menudo no superaron el nivel del azar, o incluso quedaron por debajo. Hasta los futuros docentes tuvieron dificultades con estas preguntas (Siegler & Lortie-Forgues, 2015). Es decir, los alumnos saben hacer la operación, pero no saben qué hace la operación.

¿Por qué es tan difícil?

Los investigadores señalan que parte de la dificultad de la aritmética de fracciones viene de la propia naturaleza del tema (Lortie-Forgues et al., 2015). La suma necesita un denominador común; la multiplicación, no. Una regla es correcta en una operación e incorrecta en otra. Como las reglas se parecen, se mezclan. Los estudios con modelos informáticos muestran además que la mayoría de los errores de los alumnos se deben a trasladar la regla de una operación a otra (Braithwaite et al., 2017). Cuando la comprensión conceptual es débil, al alumno solo le quedan pasos memorizados. Y cuando esos pasos se confunden, le falta una brújula para comprobar si el resultado tiene sentido.

¿Qué recomienda la investigación?

La recomendación es sencilla, pero potente: pida una predicción antes de calcular. La guía del IES insiste especialmente en que los alumnos estimen de antemano el resultado de las operaciones con fracciones y entiendan por qué las operaciones funcionan como funcionan (Siegler et al., 2010). Fijarse en si el factor es mayor o menor que 1 es la pista más básica para saber hacia dónde va el resultado. Multiplicar por 3/4 significa «tomar 3 de 4 partes»; claro que disminuye. Dividir entre 1/2 es preguntar «¿cuántas mitades caben?»; en 12 caben 24 mitades.

Así lo aplica ¿Aumenta o disminuye?

En el juego, el alumno trabaja en una fábrica de números. Por la cinta llega un número, por ejemplo 12. En la pantalla de la máquina aparece una operación: «× 3/4». La tarea del alumno no es calcular, sino decidir: cuando el número salga de la máquina, ¿habrá aumentado, disminuido o se habrá quedado igual? Pulsa un solo botón.

El corazón del juego es la máquina transparente. La idea procede de actividades de aula en las que se dividen tiras de papel de igual longitud en dos, tres o cuatro partes y se opera con los trozos, y de la investigación sobre los esquemas de fracciones de Steffe: el alumno divide un todo en partes iguales y luego construye una nueva longitud repitiendo una de las partes (Steffe & Olive, 2010; McCloskey & Norton, 2009). En el juego, el número es una caja. La caja entra en la máquina de cristal y se corta en porciones iguales ante nuestros ojos. Con × 3/4, la caja se divide en 4 porciones y una de ellas se retira; la caja se acorta. Con × 3/2, la caja se divide en 2 porciones y se añade una copia de una porción, que se ilumina en verde; la caja se alarga. Una línea discontinua muestra siempre el tamaño anterior de la caja. La regla no se memoriza, se ve: si hay más partes de las que se cortaron, aumenta; si hay menos, disminuye. La división funciona también en la misma máquina: «÷ 3/2» hace lo mismo que «× 2/3».

El juego tiene dos modos. En la Máquina transparente, la caja se corta ante los ojos del alumno en cuanto llega la pregunta, y el alumno decide viendo cuántas porciones hay. En la Máquina cerrada, la tapa de la máquina está cerrada: el alumno solo ve la operación y el número que entra, y los números se eligen muy cerca de 1 (7/8, 9/8, 0,9, 1,1). La tapa se abre después de responder y la misma demostración se reproduce como explicación. Así, primero mostramos y luego retiramos el apoyo. La pantalla es sencilla a propósito: una sola máquina en el centro y tres botones. Los números de las porciones y una línea de receta como «corta en 4, quita 1 parte» son opcionales; se activan con «Detalles» en el menú.

Los niveles están ordenados para deshacer el error paso a paso: primero, multiplicar un número entero por una fracción; luego, una fracción por una fracción; después, la división, y por último un turno en el que también se mezclan los decimales. Ante una respuesta incorrecta, el juego no se limita a decir «incorrecto»; nombra el error: «¡Multiplicar no siempre aumenta!».

Consejos para docentes y familias

• Antes de cada operación con fracciones, pare un segundo y pregunte: «¿El resultado aumenta o disminuye?».
• Lea «× 1/2» como «toma la mitad», y «÷ 1/2» como «¿cuántas mitades caben?».
• Use ejemplos cotidianos: «Si hacemos 3/4 de la receta, ¿necesitamos más harina o menos?».
• Cuando ya se haya calculado el resultado, compárelo con la predicción. Si no coinciden, es una gran oportunidad para conversar.
• En clase, pida que corten tiras de papel de igual longitud: «Divide la tira en 4 y pon 3 partes una al lado de otra. ¿Es más larga o más corta que la primera tira?». Después, que la dividan en 3 y pongan 4 partes.

Referencias

• Braithwaite, D. W., Pyke, A. A., & Siegler, R. S. (2017). A computational model of fraction arithmetic. Psychological Review, 124(5), 603–625. https://doi.org/10.1037/rev0000072
• Fischbein, E., Deri, M., Nello, M. S., & Marino, M. S. (1985). The role of implicit models in solving verbal problems in multiplication and division. Journal for Research in Mathematics Education, 16(1), 3–17. https://doi.org/10.2307/748969
• Graeber, A. O., & Tirosh, D. (1990). Insights fourth and fifth graders bring to multiplication and division with decimals. Educational Studies in Mathematics, 21(6), 565–588. https://doi.org/10.1007/BF00315945
• McCloskey, A. V., & Norton, A. H. (2009). Using Steffe's advanced fraction schemes. Mathematics Teaching in the Middle School, 15(1), 44–50. https://doi.org/10.5951/MTMS.15.1.0044
• Lortie-Forgues, H., Tian, J., & Siegler, R. S. (2015). Why is learning fraction and decimal arithmetic so difficult? Developmental Review, 38, 201–221. https://doi.org/10.1016/j.dr.2015.07.008
• Ni, Y., & Zhou, Y.-D. (2005). Teaching and learning fraction and rational numbers: The origins and implications of whole number bias. Educational Psychologist, 40(1), 27–52. https://doi.org/10.1207/s15326985ep4001_3
• Siegler, R. S., Carpenter, T., Fennell, F., Geary, D., Lewis, J., Okamoto, Y., Thompson, L., & Wray, J. (2010). Developing effective fractions instruction for kindergarten through 8th grade: A practice guide (NCEE 2010-4039). Institute of Education Sciences, U.S. Department of Education.
• Siegler, R. S., & Lortie-Forgues, H. (2015). Conceptual knowledge of fraction arithmetic. Journal of Educational Psychology, 107(3), 909–918. https://doi.org/10.1037/edu0000025
• Steffe, L. P., & Olive, J. (2010). Children's fractional knowledge. Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4419-0591-8
• Van Dooren, W., Lehtinen, E., & Verschaffel, L. (2015). Unraveling the gap between natural and rational numbers. Learning and Instruction, 37, 1–4. https://doi.org/10.1016/j.learninstruc.2015.01.001
• Wilkins, J. L. M., & Norton, A. (2011). The splitting loope. Journal for Research in Mathematics Education, 42(4), 386–416. https://doi.org/10.5951/jresematheduc.42.4.0386