Öğrencin 3/4'ü Sayı Doğrusunda Gösterebiliyor mu? Kesirlerde Asıl Sorun ve Bilimin Önerdiği Çözüm

Yarın derse girdiğinde tahtaya bir doğru çiz, bir ucuna 0, öbür ucuna 1 yaz ve sınıfa sadece şunu sor: "3/4 bu doğrunun neresinde?" Sonra bir tane daha: "Peki 5/4 nerede?" Cevaplar seni biraz şaşırtabilir. Kesirleri pastayla gayet güzel anlatan pek çok öğrenci, aynı kesri bir sayı olarak doğruya yerleştirmeye gelince takılıyor. Bu yazıda bunun neden önemli olduğunu, araştırmaların ne söylediğini ve sınıfta neler yapabileceğini konuşalım.

Kesir sadece bir konu değil, bir kapı

ABD ve İngiltere'de binlerce öğrenciyi yıllarca izleyen bir çalışma çok net bir şey buldu: 10–12 yaşındaki çocukların kesir ve bölme bilgisi, beş-altı yıl sonraki cebir başarılarını öngörüyor. Üstelik bu bağ zekâ, okuma becerisi, aile geliri ve tam sayılarla işlem becerisi hesaba katıldıktan sonra bile ortadan kalkmıyor (Siegler ve ark., 2012). Yani 5. ve 6. sınıfta kesirle yaşanan sorun, lisede denklemle, oranla, fonksiyonla karşına yeniden çıkıyor.

Durum sadece bizde de değil. ABD Eğitim Bakanlığı'na bağlı IES'in kesir öğretimi rehberi, ulusal sınavda 8. sınıf öğrencilerinin yaklaşık yarısının üç kesri küçükten büyüğe sıralayamadığını aktarıyor (Siegler ve ark., 2010).

Asıl sorun: pasta var, sayı yok

Öğrenciler yıllarca 1, 2, 3 gibi doğal sayılarla çalışıyor ve çok sağlam sezgiler geliştiriyor: büyük rakam büyük sayı demek, her sayının bir "sonraki"si var. Kesirler gelince bu sezgiler ters tepiyor. Araştırmacılar buna doğal sayı yanlılığı diyor (Ni ve Zhou, 2005). Sınıfta en sık gördüğün hali muhtemelen şu: "8, 6'dan büyük; o zaman 1/8 de 1/6'dan büyüktür."

İkinci tuzak 1'den büyük kesirlerde. Pastayla düşünen bir öğrenci için 5/4 tuhaf bir şey: "Dört dilimlik pastanın beşinci dilimi nereden çıktı?" Burada eksik olan beceri, 1/4'ü bir ölçü birimi gibi kullanıp art arda koyabilmek. Araştırmacılar bileşik kesirleri anlamanın tam olarak bu "birim kesri tekrarlama" becerisine dayandığını gösteriyor (Steffe ve Olive, 2010; Hackenberg, 2007).

Bizim sınıflarda da tablo benzer

Türkiye'deki çalışmalar da aynı yeri işaret ediyor. 5. sınıf öğrencileriyle yapılan bir araştırma; kesirleri sıralamada, toplama-çıkarmada, çarpmada ve problemlerde ciddi güçlükler olduğunu ortaya koydu (Soylu ve Soylu, 2005, Erzincan Eğitim Fakültesi Dergisi). Sorunun kökü daha da erkene gidiyor: ilkokul 3. sınıf öğrencileriyle yapılan bir çalışmada çocukların bir bütünü, özellikle de daireyi, eş parçalara bölmekte zorlandığı ve kesri okurken pay ile paydayı karıştırdığı görüldü (Pesen, 2007, Eğitim ve Bilim).

Araştırmalar ne öneriyor? Kısaca: sayı doğrusu

IES rehberinin temel önerilerinden biri çok açık: öğrencilerin kesirlerin birer sayı olduğunu ve sayı sistemini genişlettiğini görmesine yardım et. Bunun için en güçlü araç da sayı doğrusu (Siegler ve ark., 2010).

Bu sadece bir görüş değil, deneylerle de destekleniyor:

• Bir çalışmada çocukların bir kısmı kesirleri sayı doğrusuyla, bir kısmı pasta (alan) modeliyle çalıştı. Kesirleri karşılaştırma becerisi yalnızca sayı doğrusu grubunda gelişti (Hamdan ve Gunderson, 2017).
• Kesirde zorlanan 4. sınıf öğrencileriyle yapılan kontrollü deneylerde, kesrin büyüklüğüne ve sayı doğrusuna odaklanan bir program güçlü kazanımlar sağladı (Fuchs ve ark., 2013).
• Kısa ve geri bildirimli bir sayı doğrusu oyununun bile çocukların kesir büyüklüğü bilgisini geliştirebildiği görüldü (Fazio, Kennedy ve Siegler, 2016).

Pasta modelini çöpe at demiyoruz; parça-bütün ilişkisi için hâlâ çok değerli. Ama kesrin bir sayı olduğunu, büyüklüğünü ve 1'i geçebildiğini görmek için sayı doğrusu şart.

Yarın sınıfta deneyebileceğin dört şey

• İp ve mandal (10 dk): Sınıfın bir ucundan öbür ucuna ip ger, uçlara 0 ve 2 yaz. Öğrencilere kesir kartları dağıt (1/2, 3/4, 5/4, 1 1/3…); herkes kartını mandalla ipe assın. Sonra sınıfça tartışın: "Kimin yeri değişmeli?"
• Yarımdan büyük mü? (5 dk): Tahtaya hızlıca kesirler yaz, öğrenciler sadece "büyük" ya da "küçük" desin. 1/2'yi bir kilometre taşı gibi kullanmak, kesri hesapsız yerleştirmenin en kısa yolu.
• Adım say (5 dk): 3/4'ü "1/4'lük üç adım" olarak göster. Sonra 5/4'ü sor: "Dört adımda 1'e geldik, bir adım daha atarsak?"
• "Neden orayı seçtin?" (her etkinlikte): Yanlışı hemen düzeltmek yerine düşünceyi sor. Öğrenci 1/8'i ortaya koyduysa, büyük ihtimalle 8'in büyüklüğüne bakıyordur; bunu kendisi söyleyince yanılgı çok daha kolay çözülüyor.

Bunu bir oyuna çevirdik: Kesir Hattı

Bütün bu fikirleri tek bir oyunda topladık. Kesir Hattı'nda öğrenci tabeladaki kesrin durağını hatta kuruyor. Tramvay 0'dan yola çıkıp 1/4, 2/4, 3/4 diye adım adım ilerliyor ve gerçek durakta duruyor; yani birim kesri tekrarlama fikri gözünün önünde canlanıyor. Yanlış cevapta oyun, öğrencinin hangi yanılgıya düştüğünü tahmin edip açıklıyor. 1'den büyük kesirler, ondalıklar ve yüzdeler de oyunda var.

Oyun ücretsiz, kayıt istemiyor; telefonda, tablette ve bilgisayarda açılıyor. Tahtaya yansıtıp sınıfça oynamak için de çok uygun. Kesir Hattı'nı oyna ya da nasıl oynandığını anlattığımız dünkü yazımıza göz at. Sınıfında denersen öğrencilerinin en çok hangi kesirde takıldığını yorumlarda paylaş; bir sonraki oyunları da bu gözlemlerle şekillendiriyoruz.

Kaynaklar

• Fazio, L. K., Kennedy, C. A. ve Siegler, R. S. (2016). Improving children's knowledge of fraction magnitudes. PLoS ONE, 11(10). doi.org/10.1371/journal.pone.0165243
• Fuchs, L. S. ve ark. (2013). Improving at-risk learners' understanding of fractions. Journal of Educational Psychology, 105(3), 683–700. doi.org/10.1037/a0032446
• Hackenberg, A. J. (2007). Units coordination and the construction of improper fractions. Journal of Mathematical Behavior, 26(1), 27–47. doi.org/10.1016/j.jmathb.2007.03.002
• Hamdan, N. ve Gunderson, E. A. (2017). The number line is a critical spatial-numerical representation: Evidence from a fraction intervention. Developmental Psychology, 53(3), 587–596. doi.org/10.1037/dev0000252
• Ni, Y. ve Zhou, Y.-D. (2005). Teaching and learning fraction and rational numbers: The origins and implications of whole number bias. Educational Psychologist, 40(1), 27–52. doi.org/10.1207/s15326985ep4001_3
• Pesen, C. (2007). Öğrencilerin kesirlerle ilgili kavram yanılgıları. Eğitim ve Bilim, 32(143), 79–88.
• Siegler, R. S. ve ark. (2010). Developing effective fractions instruction for kindergarten through 8th grade (NCEE 2010-4039). IES, U.S. Department of Education. ies.ed.gov/ncee/wwc/PracticeGuide/15
• Siegler, R. S. ve ark. (2012). Early predictors of high school mathematics achievement. Psychological Science, 23(7), 691–697. doi.org/10.1177/0956797612440101
• Soylu, Y. ve Soylu, C. (2005). İlköğretim beşinci sınıf öğrencilerinin kesirler konusundaki öğrenme güçlükleri. Erzincan Eğitim Fakültesi Dergisi, 7(2), 101–117.
• Steffe, L. P. ve Olive, J. (2010). Children's fractional knowledge. Springer. doi.org/10.1007/978-1-4419-0591-8